Müsbət yarı müəyyən və müsbət qəti matris arasında fərq varmı?


cavab 1:

Mütləq var (ba dum tss)!

Əvvəlcə hər iki anlayışı müəyyənləşdirək:

Bir Ermitian matrisi

ACmxmA \in \mathbb{C}^{mxm}

müsbət semidefinite əgər

x^{*}Ax\geq0\ \ \ \forall x\in \mathbb{C}^{m}\tag*{}

harada

xx^{*}

x-in birləşmə transpozisidir.

Bir Ermitian matrisi

ACmxmA \in \mathbb{C}^{mxm}

əgər yarı təyin olunarsa

x^{*}Ax > 0\ \ \ \ \forall x\in \mathbb{C}^{m}\ \ \ \ \operatorname{where}\ \ x \neq 0\tag*{}

harada

xx^{*}

x-in birləşmə transpozisidir.

Tamam, buna görə yeganə fərq bu kimi görünür

\geq

qarşı

>>

.

Gəlin bunun nə demək olduğunu intuitiv şəkildə düşünək:

Müsbət müəyyən edilmiş bir matris müsbət bir ədədin matrisə ümumiləşdirilməsidir. Müsbət yarı müəyyən bir matris, mənfi olmayan bir ədədin matris ümumiləşdirməsidir.

Bu o deməkdir ki, bir vektoru müsbət müəyyən bir matrislə vurursanız, orijinal vektorlar və nəticədə yaranan vektor eyni istiqamətdə gedir, daha doğrusu ikisi arasındakı bucaq daha az və ya bərabərdir

2π2\pi

.

Başqa bir vacib xüsusiyyət:

Müsbət müəyyən bir matris üçün, bütün eigenvalues ​​müsbətdir. Müsbət yarı müəyyən bir matris üçün, bütün eigenvalları mənfi deyildir.

Tamam, indi iki anlayışı bir az dərk etdikdən sonra müsbət tərifin müsbət semidefinitdən daha sərt tələb olduğu görünür. Bunu bir az daha yaxşı ifadə edə bilərik və nəhayət ikisinin arasındakı fərqə gəldik:

Müsbət yarı müəyyən bir matris, bütün eigenvalları sıfır deyilsə, yəni tək olmadıqda müsbət müəyyən edilir.